فصل: الثاني في الضرب: إذا أردت ضرب مقدار من المقادير في مقدار آخروهما مفردان في أحد جهتي العدد

الثامن في تعدد الآباء

وفي الجعدية‏:‏ الموطوءة في طهر واحد حيث قلنا يلحق الولد بالوطء إما لأن القافة ألحقته بهما أو لأنه آخر لتوالي أحدهما فلم يوال، ‏(‏كذا‏)‏ قال سحنون‏:‏ إن مات ولم يدعا غيره ورث من كل واحد نصف تركته والباقي للعصبة أو لبنت إن كانت، ويحجب بنصف بنوته كلالة كل واحد منهما؛ لأن البنت تحجب الكلالة‏.‏

وقيل‏:‏ يقسم مال كل واحد منهما نصفين، فالنصف بين الابن والبنت إن كانت على ثلاثة للابن ثلثاه وهو ثلث جميع المال، وللبنت ثلثه وهو السدس، والنصف الآخر للبنت نصفه والباقي للعصبة وهو الربع، تصح من اثني عشر للبنت خمسة وللمدعى أربعة وللعصبة ثلاث‏.‏

وإن ورث هذا المدعي مع البنتين فله الثلث ولهما الثلثان، وعلى القول الآخر يقسم المال نصفين يكون في النصف الواحد ابن وبنتان فهو بينهم على أربعة وفي النصف الآخر بنتان بغير ابن فلهما الثلثان والباقي للعصبة وهو السدس، تصح من أربعة وعشرين للمدعى ستة ولكل بنت سبعة وللعصبة أربعة، وكذلك إن كثر البنات‏.‏

فإن ورث مع ذكر فعلى قول سحنون المال بينهما على ثلاثة للمدعى ثلث لأن له نصف بنوة؛ وعلى الآخر يقسم المال نصفين في النصف اثنان لكل واحد نصفه، والنصف الآخر فيه ابن واحد فهو له، فللمدعي ربع المال‏.‏

أو معه ابن وبنت فعند سحنون المال أربعة للابن سهمان وللبنت سهم وللمدعى سهم؛ وعلى الآخر يقسم نصفين في النصف ابنان وبنت، للابنين خمسان، وللبنت خمس والنصف الآخر فيه ابن وبنت على ثلاثة، تبلغ المسألة

ثلاثين تتفق سهامهم بالأنصاف يرد كل نصف ما في يده فتصح من خمسة عشر‏.‏

أو معه ثلاث أخوات مفترقات فعلى رأي سحنون له النصف والباقي للشقيقة؛ وعلى الأخر يقسم المال نصفين، في النصف ابن فهو له، والنصف الآخر لا بنوة فيه للأخت من الأم سدسه، وللشقيقة نصفه والتي للأب سدسه والباقي للعصبة فتصح من اثني عشر‏.‏

فإن مات أحد أبويه ثم مات هو عن أم قال سحنون للأم الثلث ولأبيه الباقي نصف ما بقي لأن له أبوة، والباقي وهو الثلث لعصبة أبيه الميت قال ابن سحنون إن كان لأحد أبويه ابنان حجبا الأم على الثلث إلى السدس، وكان للأب الباقي نصف ما بقي، وقيل‏:‏ لا يحجبانها لأن لكل واحد نصف أخوة، فإن مات المدعي عن أمه وأبويه، ولأحد الأبوين ولد وللآخر ولد قسم المال نصفين، في أحد النصفين أبوان ‏[‏وأخوان وأم، للأم السدس والباقي للأخوين، وفي النصف الآخر أبوان‏]‏ وأخ واحد وأم لها الثلث من ذلك النصف، وللأب الباقي هو ثلث جميع المال، فيجتمع للأم ربع جميع المال‏.‏

قال سحنون‏:‏ إن مات الأبوان عن أم أم ثم مات المستلحق فلجدتيه السدس ولو كان معهما جدة أم أم كان بينهن على أربعة، لأم الأم سهمان، وللأخريين سهم سهم، فإن مات أحدهما عن أم ولم يترك الآخر أما وترك المستلحق أم أم كان السدس بينهما على ثلاثة لأم الأم سهمان لأنها جدة كاملة، ولأم الأب سهم لأن لها نصف أبوة، ولا يدخل هاهنا القول الآخر‏.‏

فإن كان الأبوان شقيقين وماتا وتركا أبا ومات المستلحق عن جدة أب أبويه، قال سحنون‏:‏ كان له المال، فإن كان أحدهما عم الآخر وماتا وترك العم أباه، ثم مات الأب عن هذا المدعي وهو ابن أبيه وابن ابن أبيه كان له المال، نصف على أنه ابن، ونصف على أنه ابن أبيه، ولو كانت بنتا كان لها الربع على أنها بنت ابنه، ولها نصف السدس على أنها بنت ابن أبيه، فلها ثلث جميع المال‏.‏

التاسع في استخراج المجهولات

قال ابن يونس زوج وأم وأخت شقيقة، أخذت الأم خمسة دنانير، كم المال‏؟‏ هو عشرون لأن سهامها لأجل العول الربع والخمسة ربع العشرين‏.‏

قاعدة‏:‏ كل أربعة أعداد متناسبة فضرب الأول في الرابع كضرب الثاني في الثالث، ومتى كان أحدهما مجهولا، فإن كان الأول ضربت الثاني في الثالث وقسمت على الرابع يخرج الأول، أو الرابع مجهولا قسمت على الأول خرج الرابع، أو الثاني مجهولا ضربت الأول في الرابع وقسمت على الثالث خرج الثاني، أو على الثاني خرج الثالث، كالواحد نسبته للخمسة كنسبة الخمسة للخمسة والعشرين لأن كليهما خمس فتأملها‏.‏

إذا تقررت فاعلم أن نسبة ما أخذت لجميع المال كنسبة سهامها للفريضة، فإن ضربت سهام الفريضة فيما وقع لها وقسمته على عدد سهامها خرج لك المقصود، فعلى هذه القاعدة تخرج هذه المسائل‏:‏ وهي سرها والقاعدة في نفسها، عليها أعمال كثيرة في علم الحساب‏.‏

مسألة أم وثلاث أخوات مفترقات والتركة مائة دينار وثوب، أخذت الأم الثوب كم قيمتها‏؟‏ فتقول سهامها السدس وهو خمس بقية السهام فالقيمة عشرون، أو تقول نسبة سهامها إلى ‏[‏بقية سهام‏]‏ الفريضة كنسبة ما يخصها لبقية المال، فيكمل العمل المتقدم في القاعدة‏:‏ فاضرب الأول وهو سهم الأم وهو واحد في الرابع وهو بقية المال وهو مائة واقسمه على الثاني وهو بقية سهام الفريضة

بعد إخراج سهم الأم وذلك خمسة يخرج لك عشرون قيمة الثوب‏.‏

فإن قيل‏:‏ زادت من عندها عشرة دنانير‏.‏

قل‏:‏ قيمة الثوب إلا عشرة السدس زد العشرة على المائة واضرب فيها سهام الأم وهو واحد واقسم على بقية سهام الفريضة وذلك خمسة يخرج القسم اثنين وعشرين وهو ما يصيب الأم، زد عليه عشرة يكن اثنين وثلاثين وهو قيمة الثوب؛ لأن قيمة الثوب إلا عشرة السدس وهو خمس ما بقي، ونسبة سهم الأم وهو واحد إلى الفريضة وهي خمسة كنسبة ما يخص الأم وهو الثوب إلا عشرة من بقية المال وهو مائة وعشرة، فاقسم على الثاني وهو خمسة يخرج اثنان وعشرون وهو سهم الأم، زد العشرة تبلغ اثنين وثلاثين‏.‏

فإن زادوها انقص العشرة من المائة واضرب سهم الأم واحدا في التسعين واقسم على الخمسة تخرج ثمانية عشر وهو سهم الأم، انقص من ذلك عشرة تبقى ثمانية قيمة الثوب، ضمها للمائة تكن مائة وثمانية وهو التركة مع قيمة الثوب، وبهذه المسألة يستعان على مسائل كثيرة، وسيأتي إن شاء الله تعالى عمل هذا النوع بالجبر والمقابلة‏.‏

العاشر في قسم التركات

وفي الجواهر‏:‏ إن كانت مقدرة بوزن أو كيل فانظر عدد الفريضة من حيث تنقسم وعدد التركة، فالتركة هي الأصل المضروب فيه، والمقسوم عليه الفريضة، إلا أن تتفق التركة والفريضة بجزء فيقوم جزآهما مقامهما ويضرب لكل وارث أو موصى له يحتمله سهامه في المضروب فيه ويقسم على المقسوم عليه، فما خرج من القسم فهو نصيب الذي ضربت له‏.‏

مثال الأول وأختان لأم وأختان لأب وخمسة عشر دينارا، الفريضة ستة وتعول بسدسها لسبعة، للأم سهم ولكل أخت لأم سهم، ولكل أخت لأب سهمان فذلك سبعة، ولا توافق التركة، واضرب للأم بواحد في خمسة عشر واقسمها على سبعة جملة الفريضة يخرج لها ديناران في القسم وسبع دينار، ولكل أخت لأم كذلك، ومثال الموافقة‏:‏ أبوان وابنتان وأوصى بثلث ماله وترك واحدا وعشرين دينارا، الفريضة ستة، للأبوين سهمان، ولكل بنت سهمان، ويعال للوصية بالثلث بمثل نصفها ثلاثة تبلغ تسعة توافق بالثلث فالمضروب فيه سبعة ثلث التركة، والمقسوم عليه ثلاثة، ثلث الفريضة والوصية، فاضرب للموصى له بسهامه من أصل الفريضة ثلاثة في سبعة أحد وعشرون، واقسمها على ثلاثة ثلث الفريضة يخرج سبعة نصيب الموصى له، وللأب واحد في سبعة واقسم على ثلاثة ثلث الفريضة يخرج سبعة نصيب الموصى له، وللأب واحد في سبعة واقسم على ثلاثة يخرج ديناران وثلث، وللأم مثل ذلك، ولكل بنت اثنان في سبعة أربعة عشر غير منقسم على ثلاثة يخرج أربعة وثلثان، هذا إن كان عدد التركة صحيحا، فإن كان كسر فابسط العدد كله من جنس الكسر تضرب الصحيح في مخرج الكسر وتزيد عليه للكسر وتصير تلك الكسور كالصحاح

فاعمل في القسم ما تقدم، فما خرج لكل واحد من القسمة والضرب اقسمه على مخرج ذلك الكسر الذي جعلت الكل من جنسه فما خرج فهو نصيبه‏.‏

مثاله أربعة وعشرون دينارا ونصف وأم وأختان لأم وأختان لأب، تضرب الأربعة والعشرين في اثنين مخرج النصف تبلغ ثمانية وأربعين وتزيد النصف تبلغ تسعة وأربعين فيعد ذلك مبلغ التركة تضرب فيه للأم بسهم وتقسم على سبعة يخرج لها سبعة، وكذلك لكل أخت لأم، ويخرج لكل أخت لأب أربعة عشر، وإذا قسمت ما بيد كل وارث على اثنين مخرج النصف حصل معه نصف ما بيده، وجملة ذلك أربعة وعشرون ونصف، وإن قسمت جملة التركة على جملة السهام كان الخارج حصة كل سهم من جملة الفريضة، وإذا ضربت عدد سهام كل وارث في الخارج كل مبلغ الضرب حصته من جملة التركة، وهو تبين بالمثال الحاضر‏.‏

وذكر بعضهم طريقا من النسبة يغني عن الضرب والقسمة، ينسب سهام الفريضة من عدد التركة فما كانت نسبتها فهي نسبة سهام كل وارث من نصيبه من جملة التركة، بيانه أن نسبة السبعة للتسعة والأربعين السبع، للأم سهم فهو سبع نصيبها فنصيبها إذا سبعة كما تقدم، وكذلك سائر الورثة‏.‏

هذا إذا كانت التركة مقدرة، فإن كانت غير مقدرة فالعمل في قيمتها كما تقدم، وكذلك إن اشتملت على مقدر وغيره كعين وعروض جمعت القيمة لعدد العين‏.‏

تمهيد‏:‏ ذكر بعضهم في قسمة التركة سبع طرق‏:‏

أحدها تنسب سهام الوارث للفريضة وتأخذ تلك النسبة من المال‏.‏

وثانيها‏:‏ تضرب سهام الوارث في المال وتقسم المجتمع على جملة سهام الفريضة والخارج المطلوب‏.‏

وثالثها‏:‏ تقسم المال بجملته على الفريضة بجملتها، فما خرج ضربته في سهم كل وارث، فما اجتمع فهو حظه‏.‏

ورابعها‏:‏ توفق بين الفريضة والمال وتضرب سهام الوارث في وفق المال، وتقسم على وفق الفريضة‏.‏

وخامسها‏:‏ تقسم وفق المال على وفق الفريضة وتضرب الخارج في سهام كل وارث‏.‏

وسادسها‏:‏ تقسم الفريضة على المال وتقسم سهام الوارث على الخارج، وكذلك في الرفق‏.‏

وسابعها‏:‏ تقسم الفريضة على سهام كل وارث فما خرج للوارث قسمت عليه المال، وكذلك الوفق فاعلمه‏.‏

النظر الثاني في حساب الجبر والمقابلة

وسمي بذلك لأنه يقع فيه ناقص فيجبر ويسوي لضرورة العمل، وإذا اجتمع عددان في بعض الأعمال سقط العدد المشترك وقوبل بما بقي على ما يأتي بيان ذلك في العمل، وضرورة العلماء تدعوا لهذا العلم؛ لأن ثم مسائل من الوصايا والخلع والإجارة والنكاح وغير ذلك من المسائل التي فيها دور، وهي كثيرة، لا تخرج بالحساب المفتوح؛ لأنه لا يخرج كل المجهولات على ما يتضح لك في المسائل التي يقع فيها العمل، وتخرج بالجبر والمقابلة‏.‏

والمسائل الحسابية ثلاثة أقسام، منها ما يخرج بالمفتوح والجبر؛ وما لا يخرج بهما وقد استأثر الله تعالى بعلمه أو من خصه به من عباده، وقد بينها أرباب الرياضة في كتبهم المبسوطة، وهي في الحساب كجذر العدد الأصم فلا يعلم جذر العشرة إلا الله تعالى؛ وما يخرج بالجبر خاصة وهي التي يحتاج لها الجبر، هذا اشتقاق الجبر، واسم العدد عند اليونان أرتما طيقا مرادف للفظ العدد في العربية، وألخص في هذا النظر عشر قواعد وعشرة أبواب وثمرته بحيث

يتضح إن شاء الله تعالى اتصاحا حسنا ويسهل تحصيله وضبطه‏.‏

القاعدة الأولى‏:‏ أن أقل مراتب العدد اثنان عند الجمهور، وقيل ليس بعدد لأنه أوله، وأول الشيء لا يصدق عليه، كالنقطة طرف الخط وليست خطأ، والواحد ليس بعدد بل هو مادة العدد ومنه تقوم وعلته وسببه، وسبب الشيء غيره، وقيل عدد لتركيب العدد منه كتركب الماء من أجزاء الماء وجزء الماء ماء، هذا الخلاف في أوله، وأما آخره فغير متناه اتفاقا، بمعنى أنه لا مرتبة من العدد إلا وفوقها مرتبة‏.‏

القاعدة الثانية‏:‏ العدد ينقسم إلى فرد، وزوج، وزوج الفرد، وزوج الزوج، وزوج الزوج والفرد‏.‏

فالفرد ما لا ينقسم بقسمين متساويين، وينقسم إلى أول ومركب، فالأول ما لا يعده إلا الواحد كالثلاثة والخمسة والسبعة والأحد عشر ونحوه، ‏[‏والمركب ما يعده عدد فرد عدا الواحد، كالتسعة تعدها الثلاثة، والخمسة عشر تعدها الخمسة ونحوها‏]‏‏.‏

والزوج ما ينقسم بقسمين مستويين، ومع ذلك إن كان القسمان كل واحد منهما فرد زوج الفرد، ويتولد ‏[‏من تضعيف‏]‏ كل عدد فرد باثنين، وإن كان كل واحد منهما زوجا وينقسم إلى زوجين كذلك حتى تنتهي القسمة إلى الواحد فهو زوج الزوج، ويتولد من تضعيف الاثنين أنفسهما، ثم المبلغ باثنين ‏[‏ثم المبلغ باثنين‏]‏ كذلك إلى غير النهاية، والاثنان ليسا من زوج الزوج، بل أصل له، وإن كان كل قسم ينقسم بمتساويين مرتين فصاعدا أو لا تنتهي القسمة للواحد فهو زوج الزوج والفرد، ويتولد من تضعيف كل عدد فرد بكل عدد من أعداد زوج الزوج، فصار الزوج ثلاثة أقسام‏.‏

القاعدة الثالثة‏:‏ العدد يشبه بالأشكل الهندسية، فمنه خط، وسطح، وجسم، فالخط كل عدد يشبه الخط نحو هذا الشكل‏.‏‏.‏‏.‏‏.‏ وأما السطح فينقسم إلى الأشكال الهندسية‏:‏ المثلث، والمربع، والمستطيل، والمخمس، ونحوه من ذوات الأضلاع الكبيرة، فيتولد المثلث من العدد الطبيعي المبتدئ من الواحد المتزايد واحدا واحدا؛ لأن الواحد شكل مثلث بالقوة، فإذا زدت عليه اثنين وهو العدد الذي يليه صار ثلاثة، وهو أول المثلثات بالفعل، وكل ضلع منه اثنان، وإذا زدت على المبلغ الذي يلي الاثنين وهو ثلاثة صار ستة وهو المثلث الثاني، وكل ضلع منه ثلاثة، وإذا زدت على المبلغ الذي يلي الثلاثة وهو الأربعة صار عشرة، وهو المثلث الثالث، وكل ضلع من أضلاعه أربعة، وكذلك إلى غير النهاية، وهذه صورها

وأما المربعات فتتولد من الأفراد،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏‏.‏

الطبيعية المبتدئة من الواحد المتزايد

اثنين اثنين، فالواحد مربع بالقوة، وإذا زدت عليه الفرد الذي يليه وهو ثلاثة صار أربعة، وهو المربع بالفعل، وضلعه اثنان، وإذا زدت على الفرد الذي يلي الثلاثة وهو خمسة صار تسعة وهو المربع الثاني وضلعه ثلاثة وكذلك إلى غير النهاية، وهذه صورتها‏]‏‏:‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏

وأما ذوات الأضلاع الكثيرة كالمخمس والمسدس وغيرهما ففي توليدها طريق وهو أن المثلث لما كان أول الأشكال كان من جميع الأعداد الطبيعية المبتدئة من الواحد، ولما كان المربع الثاني فإنك تأخذ عددا وتترك عددا، وفي المخمس تأخذ عددا وتترك عددين، وفي المسدس تأخذ عددا وتترك ثلاثة أعداد، وكلما أردت زيادة ضلع زدت في المتروك عددا، وكل عدد تأخذه بعد المتروك تضيفه، والواحد مخمس بالقوة ‏[‏فاترك الاثنين والثلاثة وأضف الأربعة للواحد فيحصل

المخمس الأول بالفعل وهو الثاني بالقوة‏]‏ واترك الخمسة والستة وخذ السبعة تضيفها للخمسة تكون اثني عشر، وهو المخمس الثاني، وتترك في المسدس الاثنين والثلاثة والأربعة وتأخذ الخمسة تضيفها للواحد يكون المسدس الثاني، وإن تركت الستة والسبعة والثمانية وأخذت التسعة أضفتها إلى الستة صارت خمسة عشر وهو المسدس الثالث، وهذه صورتها‏:‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏‏.‏

وهذه المباحث مستوعبة في الكتب الهندسية إقليدس وغيرها‏.‏

القاعدة الرابعة‏:‏ العدد ينقسم إلى تام، وزائد، وناقص‏.‏

فالتام هو الذي إذا اجتمعت أجزاؤه ساوته، فأولها الستة لها نصف ثلاثة، وثلث اثنان وسدس واحد، مجموعها ستة، واستخراج الأعداد التامة من أعداد زوج الزوج مع الواحد والاثنين، وهو أن تجمعها على الولاء، فإذا اجتمع منها عدد أول ضربته في آخر عدد جمعته، فالمبلغ عدد تام‏.‏

مثاله‏:‏ الواحد تام بالقوة تجمع معه الاثنين يبلغ ثلاثة فتضربه في آخر ما جمعته وهو اثنان يبلغ ستة، وإذا جمعت الواحد والاثنين والأربعة تبلغ سبعة، فتضربه في الأربعة تبلغ ثمانية وعشرين عددا تاما، نصفه أربعة عشر، وربعه سبعة، وسبعة أربعة، ونصف سبعة اثنان، وربع سبعة واحد، ومجموعها ثمانية وعشرون، فإذا جمعت وكان معك عدد مركب جمعت عليه حتى يكون عدد أولا، فبهذا العمل تستخرج الأعداد التامة إلى غير نهاية‏.‏

والعدد الزائد هو الذي إذا جمعته زاد، والناقص إذا جمعته نقص، والأول هو عند الحساب أكمل كالإنسان التام، والزائد منحرف كصاحب الأصبع الزائدة، والناقص كعادم أصبع، وقد قيل هو السبب المرجح في خلق السماوات والأرض في ستة أيام دون غيرها من الأعداد لأنها أول عدد تام، فالناقص كالفرد الأول، والفرد المركب من عدد واحد ولو تكرر ما تكرر كله ناقص، وزوج

الفرد كالأول كله ناقص ما عدا الستة، وزوج الزوج كله ناقص، والأعداد التامة كلها زوج الزوج والفرد ما عدا الستة، وكل عدد تام لا بد فيه من الستة أو الثمانية‏.‏

القاعدة الخامسة‏:‏ في تناسب الأعداد، وأصلها الأربعة المتناسبة، وتكون النسبة متصلة ومنفصلة، فالمتصلة تكون نسبة الأول للثاني كنسبة الثاني للثالث وكنسبة الثالث للرابع والرابع للخامس وكذلك إلى غير النهاية، وكذلك يكون ضرب كل مقدار في نظيره مساويا لمربع الواسطة إن كان عدد المقادير فردا، وكضرب إحدى الواسطتين في الأخرى إن كان عدد المقادير زوجا، فيكون ضرب الأول في الرابع كضرب الثاني في الثالث، والأول في السادس كالثاني في الخامس، والثالث في السادس كالرابع في الخامسن كالاثنين والأربعة والثمانية والستة عشر، فضرب الأول في الرابع كالثاني في الثالث وبالعكس‏.‏

ومثال المقادير التي عددها فرد‏:‏ الثلاثة، والتسعة، والسبعة والعشرين، فالأول ثلث الثاني، والثاني ثلث الثالث، وفي المثال الأول نصف الثاني، والثاني نصف الثالث، والثالث نصف الرابع، فضرب الثلاثة في السبعة والعشرين كضرب التسعة في نفسها وهو تكعيبها، وتكعيب كل عدد ضربه في نفسه، ومتى كثرت الأعداد وهي زوج يضرب الأول منها في الآخر، كضرب المرتبتين المتوسطين إحداهما في الأخرى، وإن كانت فزد فضرب الأولى في الأخيرة كضرب المتوسطة في نفسها‏.‏

ومثاله في المثال الأول نبني عليه فنقول‏:‏ الستة عشر نصف اثنين وثلاثين، واثنان وثلاثون نصف أربعة وستين وهي نصف مائة وثمانية وعشرين وهو نصف مائتين وستة وخمسين الذي هو الأخير تبلغ خمسمائة واثني عشر، وهو المتحصل من ضرب ستة عشر في اثنين وثلاثين، المرتبتان المتوسطتان‏.‏

ومثال مقادير عددها تسقط مائتين وستة وخمسين فضرب اثنين في مائة وثمانية وعشرين بمائتين وستة وخمسين، وهو المتحصل من ضرب المرتبة

المتوسطة في نفسها وهي الستة عشر، وإذا كان الطرفان في المقادير الزوجة كالواسطتين فكذلك المتلاصقتان للمتوسطتين، والملاصقتان للملاصقتين حتى تنتهي للطرفين، والمقادير المفردة تكون المرتبتان الملاصقتان للمتوسطة يقوم ضربهما مقام ضرب المتوسطة، وكذلك الملاصق للملاصقتين إلى أن تنتهي للملاصقين للطرفين‏.‏

ومن خواص هذه القاعدة أنا إذا ضربنا الأول في الرابع وقسمنا على الثاني خرج الثالث، أو على الثالث خرج الثاني، وإن ضربنا المتوسطتين وقسمنا على الأول خرج الرابع، أو على الرابع خرج الأول، ‏[‏وكذلك المقادير المفردة إن ضربت الخمسة في نفسها وقسمتها على الواحد الذي هو الأول‏]‏ خرج الثالث الذي هو الخمسة والعشرون، أو ضربت الأول الذي هو الواحد في الثالث الذي هو خمسة وعشرون خرج منه ضرب الثاني في نفسه‏.‏

فوائد‏:‏ اعلم أن هذه قاعدة جليلة، ولعلها أعظ قواعد الحساب فائدة، منها أحكام التناسب الذي بين أعداد الجبر والمقابلة من الشيء والمال والكعب وغيره على ما سيأتي إيضاحه إن شاء الله تعالى، وهي سر عظم في الجبر والمقابلة عظيمة النفع في استخراج المجهولات في الجبر وغيره، ويستخرج منها حساب المواريث في الانكسار على الأحياز وحساب المناسخات‏.‏

وبيانه أن حساب المناسخات يرجع إلى حساب الانكسار على أحد الأحياز؛ لأن النظر الثاني هو حيز من الورثة لم تنقسم عليهم سهامهم، ولما كنا نوفق بين السهام والحيز في الفرائض وفقنا هاهنا، ولما كنا نضرب جملة الحيز ثمة ضربنا جملة المسألة الثانية هاهنا، وكان مقتضى القياس أن نضرب عدد الورثة في البطن الثاني هاهنا لأنهم مثل الحيز في الفرائض، لكن المانع أنا إذا ضربنا عدد الورثة فلا بد أن يقسم بعد ذلك، وحقيقة القسمة طلب ما في المقسوم من أمثال المقسوم عليه، فيخرج بالقسمة أنصباء متفقة متساوية، وورثة البطن الثاني قد يكونون

مختلفين فامتنعت القسمة، والحيز في الفرائض مستوون هم وأنصباؤهم، فلو كان ورثة البطن مستوية أنصباؤهم تخيرنا بين ضربهم في أصل المسألة وبين ضرب مسألتهم وإن لم نخير في ضرب الحيز في الفرائض وضرب سهامه ضرورة اختلاف العددين، وإنما قلنا في المناسخات من له شيء من المسألة الأولى أخذه مضروبا في المسألة الثانية لأن جميع أجزاء المسألة الأولى ضوعف يعدد أجزاء المسألة الثانية‏:‏ لأن جميع أجزاء المسألة الأولى بعدده آحاد المسأل الثانية‏:‏ لأن ذلك من ضرورة الضرب فلذلك ضربنا في المسألة الثانية وقلنا من له شيء من المسألة الثانية أخذه مضروبا في سهام مورثه ولم نقل في المسألة، لأنا ضربنا إحدى المسالتين في الأخرى فضاعفنا كل واحدة منهما بعدد آحاد الأخرى‏.‏

فإذا قلنا من له شيء من المسألة الأولى أخذه مضروبا في الثانية لم يبق من الأولى إلا سهام البطن الثاني وهي سهام مورثهم، ولم يبق شيء يضرب فيه سواه، فلذلك ضربنا فيه وحده، أو نقول إذا ضربنا الثانية في الأولى فقد ضاعفنا الثانية بعدد آحاد الأولى‏:‏ فيكون المتحصل جملة هو البطن الأول والثاني، فلو أعطينا أصحاب المسألة الثانية من له شيء من سهامه مضروبا في الأولى لم يبق لأصحاب الأولى شيء، وما سبب هذا الفساد إلا أن الذي يستحقه أصحاب الثانية سهامهم لا مسألتهم؛ لأن استحقاقهم تابع لمورثهم، وإذا لم يستحقوا إلا سهامهم وهي قد ضوعفت بالضرب في مسألتهم مع جملة المسألة الأولى‏:‏ ولا فرق بين ضرب سهامهم في مسألتهم وضرب مسألتهم في سهامهم، فكأنا ضربنا مسألتهم في سهامهم لما ضربنا المسألة الأولى في الثانية‏:‏ ولذلك قلنا من له شيء من المسألة الأولى أخذه مضروبا في سهام مورثه، ويؤكد ذلك أن الحيز من الورثة إذا انكسرت عليه سهامه فضربا عدد رءوسه في المسألة قلنا من له شيء من الحيز أخذه مضروبا في الحيز، فرءوس الحيز مثل المسألة الثانية في المناسخات، ونصيب الحيز مثل سهام الميت الثاني في المناسخات، ولما لم يعط الحيز إلا سهامه مضروبة في رءوسه الذي هو مساو لضرب رءوسه في سهامه، كذلك لا يعطى أهل المسألة

الثانية إلا ما يستحقونه من مسألتهم مضروبا في سهامهم، ولم نقل من له شيء من أهل الحيز أخذه مضروبا في سهامه؛ لأن مسألتهم غير معلومة إلى الآن بخلاف المناسخات‏.‏

إذا تقرر أن المناسخات ترجع للانكسار على الأحياز وتبين أن الانكسار على الأحياز يرجع للقاعدة فنقول‏:‏ إذا انكسرت السهام على بعض الورثة ولم يوافق، فتضرب الرءوس في أصل المسألة وتصح منه؛ لأن نسبة الواحد من الحيز إلى جملته كنسبة المسألة الأولى للثانية؛ لأن المسألة الأولى ضوعفت بعدد آحاد الحيز ضرورة أنها ضربت فيه، والضرب‏:‏ المضاعفة بعدد المضروب فيه، فعدد آحاد الحيز هو عدد أضعاف المسألة الأولى‏:‏ فنسبة أحد أحاد الحيز إليه كنسبة أحد الأضعاف إليها، لكن أحد الأضعاف هو المسألة الأولى‏:‏ وجملة الأضعاف هو المسألة الثانية‏:‏ فصدق قولنا إن الواحد للحيز كنسبة المسألة الأولى للثانية‏.‏

إذا تقرر هذا فنقول‏:‏ المجهول المسئول عنه هو قسمة التركة بعدد الورثة بحسب سهامهم، وهذا هو المسألة الثانية هو الطرف الرابع، فمقتضى القاعدة إنما تضرب الثاني في الثالث، وهو الفريضة الأولى‏:‏ وهو جملة الحيز في المسألة الأولى وتقسم المتحصل على الأول وهو الواحد من الحيز والقسمة على الواحد فخرج جملة المقسوم، فيخرج لنا جملة المسألة الثانية وهو المجهول المسئول عنه، وكذلك إذا كان العمل بالوقف فقط فنقول‏:‏ نسبة الواحد من الوفق إليه كنسبة المسألة الأولى إلى الثانية‏:‏ وتكمل العمل إلى آخره، فإن كان الوفق واحدا فالضرب فيه لا يفيد شيئا، ولما كان العمل في المناسخة على سهام البطن الثاني دون عدد رءوسهم فنقول‏:‏ نسبة الواحد من أحاد مسألة المتوفى إلى جملة آحاده كنسبة المسألة الكائنة قبل موت الثاني إلى الكائنة بعده؛ لأن الكائنة قبل موته ضوعفت بعدد آحاد مسألة المتوفى، فنسبة الواحد منها إلى جملة الآحاد كنسبة الضعف الواحد من الأضعاف إلى جملة الأضعاف ضرورة استواء العددين، لكن الضعف الواحد هو الكائنة قبل موته، وجملة الأضعاف هي الكائنة بعد موته، فتضرب الثاني وهو جملة آحاد مسألة المتوفى في الثالث وهي المسألة الكائنة قبل موته،

وكذلك فعل الفرضيون، ثم تقسم المتحصل على الأول وهو الواحد من آحاد مسألة المتوفى والقسمة على الواحد يخرج جملة المقسوم، وجملة المقسوم هو المتحصل من جملة الضرب وهو الواحد المجهول المسئول عنه‏.‏

وكذلك إن جعلت الطرفين وسطين، والوسطين طرفين، وقلت نسبة المسألة الكائنة قبل موت الثاني إلى الكائنة بعده كنسبة الواحد من آحاد مسألة المتوفى إلى جملة آحاده، فيكون المجهول هو الثاني من المقادير الأربعة، فتضرب الأول وهو المسألة الكائنة قبل موته في الرابع وهو جملة آحاد مسألته وتقسم على الثالث وهو الواحد من آحاد مسألته فيخرج جملة المقسوم وهو المجهول، فظهر أن الانكسار في الفرائض والمناسخات يخرج الجميع بهذه القاعدة مع ما يأتي من عمليات الجبر والمقابلة فيكون ذلك ثلاث فوائد‏.‏

الفائدة الرابعة معاملات الناس والأربعة المتناسبة فيها تسمى السعر والمسعر والثمن والمثمن، ويكون السعر والثمن من جنس، والمسعر والمثمن من جنس، ويكون واحد من الأربعة مجهولا فتضرب أحد الأربعة وهو الذي يوافق المجهول في الاسم ويخالفه في الجنس فيما ليس من جنسه، ويقسم المبلغ على المقدار الباقي فالخارج المجهول‏.‏

مثاله القنطار بأربعة وعشرين، كم ثمن ستة أرطال وربع‏؟‏ تضرب ستة وربعا في أربعة وعشرين تبلغ مائة وخمسين، تقسمها على عدد أرطال القنطار وهو مائة يخرج واحد ونصف وهو المطلوب‏.‏

فإن قيل كم بأربعة دنانير ونصف‏؟‏ ضربت أربعة ونصفا في مائة تبلغ أربعمائة وخمسين تقسمها على أربعة وعشرين تخرج ثمانية عشر ونصف وربع وهو الجواب‏.‏

القاعدة السادسة، من المشهورات في البديهيات الأوليات أن الجزء أقل من الكل، وفي العدديات انتقص ذلك، فكان متى نقص الكل عن الواحد كان جزؤه أعظم منه، أو كان الكل واحدا ساواه جزؤه، أو زاد على الواحد نقص جزؤه

عنه، فإذا أردت أن تعلم جزء مقدار فاعلم نسبة الواحد منه وخذ تلك النسبة من الواحد فما كان فهو جزء ذلك المقدار‏.‏

مثاله إن خرج الشيء ثلاثة فجزؤه ثلث، وإن خرج اثنين ونصفا فجزؤه خمسان، وإن خرج واحدا فجزؤه واحد، وإن خرج ثلثين فجزؤه واحد ونصف؛ لأن نسبة الواحد للمثلين مثلها ومثل نصفها، فالجزء واحد ونصف‏.‏

القاعدة السابعة، مقادير العداد تنقسم إلى منطق وأصم‏.‏

فالمنطق ما له اسم جدر يستقل به كالثلاثة بالنسبة للتسعة، فإن الجذر هو الذي إذا ضرب في نفسه قام منه الجذور، والمجذور هو يسمى أيضا مربعا‏.‏

والأصم ما لا يعرف إلا بالإضافة إلى غيره، كجذر المقدار الذي ليس بمجذور، وضلع المقدار الذي ليس بكعب، وجذر الجذر، وضلع الضلع، وجذر الضلع، ويتكرر ذلك لغير النهاية‏.‏

وضابط ما ليس له جذر من العدد أن مراتب العدد آحاد وعشرات ومئيون وألوف، كل مرتبة تسعة والعاشر من المرتبة التي فوقها، فكل مرتبة زوج كالعشرات أو الألوف لا جذر لها، فكذلك لا جذر للعشرة ولا للعشرين إلى قولنا تسعين، وكذلك الألوف إنما تتصور في مرتبة العشرات أو المئين، وهو محصور في الآحاد في الواحد والأربعة والتسعة من الآحاد، وما عداها لا جذر له، وكذلك ما شاكلها من المئين نحو المائة والأربعمائة والتسعمائة، هذا في العدد المفرد من مرتبة واحدة، أما المركب من مرتبتين إن كانت مرتبته الدنيا من العدد الذي لا جذر له فلا جذر له، نحو مائة وعشرين، فإن العشرين لا جذر لها، أو من عدد له جذر لكونه من قبيل الآحاد احتمل الجذر ولا يتعين أنه مجذور‏.‏

القاعدة الثامنة‏:‏ إذا جمعنا أعدادا على الولاء من الواحد وتزيد أبدا واحدا واحدا، وأردت معرفة مجموعها فاجمع الأول للأخير واضرب مجموعهما في نصف عدد الأعداد فالمبلغ ما فيها من العدد‏.‏

مثاله من الواحد إلى العشرة، تضم الواحد إلى العشرة فتضربه في نصف عدد الأعداد وهو خمسة يخرج خمسة وخمسون وهو الجواب، وتعليله أن هذه المراتب كل جملتين منها مثل جملتين أخريين، فالأولى والأخيرة أحد عشر في هذا المثال، وكذلك المجاورتان لهاتين المرتبتين فالاثنان والتسعة أحد عشر، وكذلك الثلاثة والثمانية، والأربعة والسبعة، والخمسة والستة، فالعشرة أعداد خمس جمل مستوية فتضربها في خمسة التي عددها فتصير عدد آحادها، ومن خواص هذا العدد أن يكون العدد الأخير فيه من عدد الآحاد بقدر عدد الأعداد، فإن كان عدد الأعداد عشرة فالعدد الآخر عشرة‏.‏

فإن قيل اجمع عشرة أعداد أولها اثنان وتتفاضل ثلاثة ثلاثة، فاستخرج العدد الأخير منها بأن تضرب عدد الأعداد إلا واحدا في التفاضل يكون سبعة وعشرين ثم تزيد عليها العدد الأول تكون تسعة وعشرين، هذا هو العدد الأخير، تجمع معه العدد الأول وتضربه في نصف عدد الأعداد تكون مائة وخمسة وخمسين وهو مجموع الأعداد‏.‏

طريقة أخرى في التفاضل بواحد واحد أو باثنين اثنين أو أكثر، تنقص من عدد الأعداد واحدا وتضربها في المقدار الذي وقع به التفاضل وهو الواحد أو الاثنان أو غيرهما، وتضيف إلى المتحصل من الضرب المبتدأ الأول مرة أخرى، أو تضرب الجميع في نصف عدد الأعداد كان واحدا أو أكثر فالمتحصل هو ما في عدد الأعداد من الآحاد‏.‏

القاعدة التاسعة، كل مقدار قسم قسمين، فإن مربع أحد القسمين مع ضرب القسم في القسم الآخر مساو لضرب ذلك القسم في المقدار كله، ومربعا القسمين مع ضرب أحدهما في الآخر مرتين مساو لمربع المقدار كله‏.‏

مثاله قسمنا الشعرة بستة وأربعة تضرب الستة في نفسها ستة وثلاثون وتضربها في الأربعة أربعة وعشرون، ومجموعها ستون وهو ضرب الستة في العشرة،

وضرب الستة في الأربعة مرتين يكون ثمانية وأربعين، ومربع الستة الحاصل من ضربها في نفسها ستة وثلاثون، ومربع الأربعة ستة عشر، مجموع المربعين اثنان وخمسون مع ثمانية وأربعين تبلغ مائة وهو الحاصل من ضرب العشرة في نفسها‏.‏

القاعدة العاشرة‏:‏ كل مقدار زيد عليه زيادة فإن ضرب ذلك المقدار مع الزيادة مع مربع نصف المقدار مساو لمربع نصف المقدار مع الزيادتين مجموعتين‏.‏

مثاله زدنا اثنين على عشرة، فضرب مجموع العشرة والاثنين في الاثنين مع مربع نصف العشرة مجموعها تسعة وأربعون، وذلك مساو لضرب نصف العشرة مع الاثنين في نفسها‏.‏

الأول في بيان الاصطلاحات في علم الجبر والمقابلة

وهي الشيء، والجذر، والمال، والكعب، ويقال له المكعب بالميم أيضا‏.‏

فالشيء اسم للموجود لغة، وفي الاصطلاح عدد مجهول، وسمي العدد المجهول شيئا لاحتمال الشيء جميع الحقائق، والعدد المجهول سائر المقادير، فحصل التشابه فاستعير ووضع للمقدار المجهول من العدد، والعدد يقال علي الشيء والمال وغيرهما، والشيء يقال علي العدد وعلى الواحد الذي ليس بعدد، منهما عموما مطلقا لصدقه عليهما؛ لأن الواحد علة العدد ومنه يتركب، والعلة واجبة الحصول مع المعلول، وقد يوجد بدونها في الواحد المعلوم فإنه ليس بعدد ولا يقال له شيء ولا مال في الاصطلاح‏.‏

والجذر هو الشيء إذا ضرب في نفسه، وكل عدد إذا ضرب في نفسه فقام منه عدد فهو جذر لذلك العدد، وفيه ثلاث لغات للعرب، جذر وجذر بفتح الجيم وكسرها وذال معجمة، وجذم بكسر الجيم والميم بدل الراء، وهو الأصل، وفي غير الحساب بالدال المهملة ومنه قوله عليه السلام‏:‏ ‏"‏اسق يا زبير حتى يبلغ الجدر‏"‏ - بالدال المهملة -، ولما كان أصل الحساب المرتفع سمي جذرا، والجذر أعم من الشيء من وجه وأخص من وجه، فإن الجذر قد يوجد في المعلوم ولا يقال له شيء في الاصطلاح، كالثلاثة إذا ضربتها في نفسها فتكون تسعة، ويوجد الشيء بدون

الجذر في العدد المجهول إذا لم يضرب فهو شيء في الاصطلاح واللغة، ولا يقال له جذر لا لغة ولا اصطلاحا، وقد يجتمعان في الشيء المضروب في نفسه فيصير مالا، وهذا هو حقيقة الأعم من وجه، والعدد هو على مسماه اللغوي، وتقدم الخلاف هل أوله الواحد أو الاثنان أو الثلاثة، ثلاثة أقوال‏.‏

والمال هو في الاصطلاح ما يحصل من ضرب الشيء في نفسه؛ لأن المرتفع من ضرب الشيء أخص منه لكون أكثر منه، والأكثر أخص من الأقل، ولما كان الشيء أعم من المال لصدقه على الإنسان الحر وليس مالا قيل للأخص منه مالا، ويسمى المال مربعا أيضا، وكل عدد ضرب في نفسه سمي الحاصل مربعا منقولا من الشكل المربع في مقادير المساحات، فإنه إذا فرض سطح له أربعة أضلاع، كل ضلع عشرة أو غير ذلك فإنهم يسقطون من كل ضلعين متقابلين أحدهما ويضربون أحد المتجاورين في الآخر‏.‏

،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏،‏.‏‏.‏

مثاله‏:‏ مربع ب د هـ كل واحد منها عشرة مثلا يكتفون بضلع عن ضلع ب، وبضلع هـ ضلع د، ويضربون ضلع هـ في ضلع يحصل مائة وهي مساحة لهذا المربع، وعشرة في عشرة هو ضرب الشيء في نفسه، وسمي ضرب الشيء في نفسه مربعا، والمربع أعم من المال عموما مطلقا لا من وجه؛ لأن كل مال مربع وليس كل مربع مالا؛ لأن مربع الكعب وغيره لا يسمى مالا في الاصطلاح‏.‏

والكعب هو المرتفع من ضرب المال في الشيء من التكعيب، والكعب لغة ماله طول وعرض وعمق وبروز، ومنه الكعبة الحرام، والجارية الكاعب لبروز نهديها، وكعوب الرمح لبروزها عنه، ومساحة مثل هذا النوع ضرب طوله في عرضه، وهما الضلعان المستويان كما تقدم، ثم ضرب المتحصل في الجذور وهو أحدهما، فإذا كان أحدهما اثنين يكون المتحصل من ضربه أربعة تضرب أربعة في

اثنين يكون التكعيب ثمانية، ‏(‏وكذلك إذا كان الشيء اثنين يكون المال أربعة، والكعب ثمانية‏)‏، ونظيره قول المعتزلة في الجسم هو الطويل العريض العميق، فإذا اجتمع جوهران كانا خطا، فإذا اجتمع خطان كانا سطحا، فإذا اجتمع سطحان كانا جسما، وقالوا فلهذا أقل الجسم ثمانية جواهر، فهو البحث بعينه، فالشيء اثنان خط، وإذا ضربته في نفسه حصل أربعة سطح، وضربت السطح أربعة في اثنين حصل أربعة أخرى، أطبقها على الأربعة الأولى حصل نسبة الخط الأولى الطول، ونسبة الثاني العرض، ونسبة إطباق أحد السطحين على الآخر العمق‏.‏

واعلم أن العدد بمنزلة الآحاد، والشيء بمنزلة العشرة، والمال بمنزلة المائة، والكعب بمنزلة الألف، وكما أنك كلما كررت العشرة ارتفعت مرتبة إلى غير نهاية، فكذلك كلما كررت الشيء ارتفع إلى غير النهاية، والارتفاع من مرتبة إلى التي تليها أن تبدل مالا بكعب أو كعبا بمال مال، فيلي الكعب مال مال ثم مال كعب، ثم كعب كعب، ثم مال مال كعب، ثم مال كعب كعب، ثم كعب كعب كعب، كذلك إلى غير النهاية، فضرب الشيء في نفسه مال، وضرب الشيء في المال كعب، وضرب الشيء في الكعب مال مال، وضرب الشيء في مال كعب كعب كعب، فالمتحصل أبدا اضربه في الجذر الأول يحصل لك اسم المرتبة التي تلي المرتبة التي ضربتها، وكرر فيها كذلك إلى غير النهاية على نمط واحد‏.‏

ومن المصنفين من يصعبه على المبتدئين فيقول‏:‏ ضرب الشيء في نفسه مال، والكعب اسم لما يتركب من ضرب المال في الجذر، ويخالف من هاهنا فيقول‏:‏ ومال المال اسم لما يتركب من ضرب المال في نفسه، ومال الكعب اسم لما يتركب من ضرب المال في الكعب، وكعب الكعب اسم لما يتركب من ضرب الكعب في نفسه، وهو وما ذكرته سواء في المعنى، غير أن المبني على نمط واحد أقرب للضبط، والاختلاف يوجب مزيد الحفظ‏.‏

واعلم أن الأصل في هذه الألفاظ تقديم لفظ المال على الكعب، وهو الاصطلاح؛ لأن المال أعم من الكعب لكونه يوجد معه، ولكونه أمثال ما في الكعب وبدونه حالة عدم الضرب، وإذا كان أعم منه يكون مقدما عليه طبعا فيكون مقدما عليه وضعا، وإذا اجتمع ثلاث لفظات مال عوضوا عنها كعب كعب لخفته في اللفظ؛ لأن لفظتين أخف من ثلاث، وهو مثله في المعنى؛ لأن الكعب إذا ربع وهو ثمانية يبلغ أربعة وستين وهو المتحصل من تكعيب المال الثابت له في المقدار، فإن المناسب للكعب الذي هو ثمانية مال هو أربعة، لأنا نفرض الشيء اثنين، وإذا كعبنا المال على هذا التقدير فنربعه أولا لأن كل تكعيب لا بد أن يتقدمه تربيع، فنقول‏:‏ أربعة في أربعة ستة عشر، ثم تكعبه لا بد أن يتقدمه تربيع، فنقول‏:‏ أربعة من أربعة ستة عشر، ثم تكعبه فنقول ستة عشر في أربعة أربعة وستون وهو المتحصل من تربيع الكعب، فعلمنا أن الشيء متى كان اثنين كان تربيع كعبه أربعة وستين، وتكعيب مال كذلك، وهو يقع في المرتبة السادسة من الشيء، ويقال له مال مال مال، ويقال لتربيع الكعب كعب كعب، وإذا استويا وأحدهما أخف لفظا تعين لخفته، ولا يمكن أن يجتمع من لفظ المال أكثر من أربعة؛ لأن أكثر لفظات لنا في مراتب المجهولات مال مال وإذا ربعناه بضربه في نفسه يحصل لنا مال مال مال أربع مرات فهو أكثر ما يحصل‏.‏

فصل‏[‏في تناسب المراتب‏]‏

وهذه المراتب تناسب كتناسب مراتب العدد، وتناسب أجزائها في الانحطاط كتناسبها في الارتفاع، وجزء كل شيء ما إذا ضرب فيه كان واحدا، والعدد واسطة بين المراتب وبين أجزائها، فنسبة الواحد للشيء كنسبة الشيء للمال، وكنسبة المال للكعب، وكذلك إلى غير نهاية، وكذلك نسبة الواحد إلى جزء الشيء كنسبة جزء الشيء إلى جزء المال وكنسبة جزء المال إلى جزء الكعب، وكل ما تقدم في قاعدة الأعداد المتناسبة في ذكر القواعد يأتي هاهنا من الضرب والقسمة واستخراج المجهول من المعلوم، فضربنا الكعب في الشيء كضربنا الطرفين من أعداد مفردة، والمتحصل من الضرب مال مال، كضرب المال في

نفسه الذي هو المرتبة المتوسطة، ولو ضربنا المال في نفسه لقلنا مال مال فنقول هاهنا كذلك، وإذا ضربنا وإذا ضربنا مال مال في الشيء فقد ضربنا الطرفين من مراتب أعداد مزدوجة فيقوم مقامه ضرب الواسطتين، وهما المال في الكعب، ولو ضربنا المال في الكعب لقلنا مال كعب، فنقول هاهنا مال كعب بتقديم لفظ مال، لما تقدم من بيان سبب التقديم‏.‏

ومتى كان الشيء ربع المال بأن يكون أربعة كان المال ربع الكعب والشيء، وكذلك بقية المراتب، ومتى كان الشيء ثلث المال بأن يكون ثلاثة فيكون المال تسعة يكون المال ثلث الكعبة، وكذلك سائر النسب تتكرر في المراتب‏.‏

قال بعض الفضلاء‏:‏ إن الاسم في المضروب في الشيء ينشأ من لفظ المال ولفظ المرتبة الكائنة قبل المضروب، لأنهما المرتبتان المتلاصقتان للطرفين المضروبين، وقد تقدم في القاعدة أنه لا فرق بين الوسائط والملاصق لها من المراتب إلى أن ينتهي إلى الملاصقين للطرفين، وأن ضرب جميع ذلك سواء وكذلك اعتمدوا على ذلك ليكتفوا بلفظ المال لسائر المراتب ويستغنوا عن الألفاظ الكثيرة المراتب الكثيرة التي لا تتناهى، وهو من حسن التصرف والفكرة الجيدة‏.‏

الثاني في الضرب‏:‏ إذا أردت ضرب مقدار من المقادير في مقدار آخروهما مفردان في أحد جهتي العدد

أي ليس أحدهما من مرتبة والآخر من الآخرى، ضربت عدد أحدهما في عدد الآخر، فإن كان هو من المرتبة التي بعدها من العدد في جهتهما مساو لبعدهما إلا واحدا، نحو مالان في ثلاثة أكعب يكون ستة من المرتبة السادسة أي ستة أموال كعب؛ لأن المراتب سبع‏:‏ العدد، والشيء، والمال، والكعب، ومال مال، ومال كعب، وكعب وكعب، فالمال في المرتبة الثالثة والكعب في الرابعة‏:‏ وثلاثة وأربعة سبعة، تنقص منها واحدا تبقى ستة وهي مرتبة الخارج بالضرب وهو مال كعب، وامتحانه بالعدد الصحيح أن المال أربعة بالعرض، فمالان ثمانية، والكعب ثمانية، وثلاثة منه أربعة وعشرون، فنحن ضربنا ثمانية في أربعة وعشرين بمائة واثنين وتسعين، ومال كعب هو اثنان وثلاثون؛ لأنه من ضرب الكعب في المال، واثنان وثلاثون في ستمائة واثنين وتسعين، وإذا ضربت المجهولات بعضها في بعض عبر عن المتحصل بإضافة اسم المضروب إلى اسم المضروب فيه أو بالعكس، إلا المال مع الكعب فيقدم المال على الكعب لكونه أعم كما تقدم، وإلا الشيء إذا ضرب في الشيء فيقال مال والقياس شيء شيء، كما قالوا مال مال وكعب كعب، فإن لشيء شيء لفظا مفردا أخذ من المركب وهو مال، بخلاف غيره ليس له لفظ مفرد، ولأن مال مال وكعب كعب أبلغ في التركب وأبعد عن البساطة فكان بتركيب الألفاظ أولى ليتناسب اللفظ والمعنى‏.‏

وإن ضربنا العدد في أحد المجهولات أو بالعكس نحو ثلاثة آحاد في أربعة أشياء، أو أربعة أشياء في ثلاثة فالخارج اثنا عشر شيئا، ولا تقول اثنا عشر

أحدا؛ لأن الضرب هو تضعيف المضروب بآحاد المضروب فيه، ونعني بآحاده ما اشتمل عليه من البسائط لا آحاده المذكورة في اللفظ كما لو قيل‏:‏ اضرب أربعة في مائتين فإنك تقول ثمانمائة وإن كان المائتان اثنين بالنظر إلى الآحاد الملفوظ بها، وكان مقتضى ذلك أن تقول ثمانية، لكنا نظرنا إلى الآحاد البسيطة‏.‏

إذا تقرر هذا، فإذا ضربنا المجهول في المعلوم أو بالعكس أمكننا أن نضعف المجهول بآحاد المعلوم؛ لأن آحاده معلومة لنا، ولا يمكننا تضعيفه بآحاد المجهول البسيطة لأنا لا نعلم ما في المجهول منها، فلذلك قلنا اثنا عشر شيئا ولم نقل اثنا عشر أحدا، وكذلك القول في سائر المجهولات إذا ضربت في المعلوم‏.‏

ومتى ضربننا مرتبة من مراتب الأعداد المجهولة ولم نعلم ما قبله حتى نركبه من لفظ المال، فأي شيء يكون اللفظ المعبر عنه به فالطريق قد علمت أن المراتب متناسبة وأن زيادتها بالضرب في الجذر إنما تكون على نحو تلك النسبة، فعلى هذا إذا كان المضروب مالا فأبدل منه كعبا؛ لأن النسبة تقتضي أن الانتقال في مراتب الأعداد المجهولات من المال إلى الكعب، أو المضروب كعبا، فمال مال لاقتضاء النسبة ذلك، وكذلك أبدا، غير أنك لا تقدم لفظ الكعب على المال ما تقدم، أو المضروب كعوبا فمال مال؛ لأن الارتقاء إنما يحصل من الكعب إلى مال مال وتخلى بقية الكعوب على حالها‏.‏

وفي هذا الباب ثلاثة عشر قسما‏:‏

القسم الأول في ضرب الجذور وكسورها في الأعداد، فضرب الجذر في عدد أو كسره يخرج جذورا وكسرا من جذر كشيء في درهمين شيئان، وشيئان في درهمين أربعة أشياء، وشيئان في نصف درهم شيء، وفي ربع درهم نصف شيء، ونصف شيء في درهم نصف شيء، وربع شيء في ثمانية دراهم شيئان، لأنك في الضرب تقدر إضافة المضروب للمضروب فيه، ولو صرحت بالإضافة ظهر ذلك‏.‏

القسم الثاني ضرب الجذور في نفسها وفيما يتركب منها، فشيء في شيئين

مالان، وشيء في ثلاثة أشياء ثلاثة أموال، فشيئان في شيئين أربعة أموال، ونصف شيء في أربعة أشياء وربع مالان وثمن، وكله يظهر بالإضافة كما تقدم في حساب الصحيح‏.‏

القسم الثالث ضرب الجذر في المال كعب، وجذرين في مالين أربعة كعاب، ونصف جذر في مال نصف كعب، ونصف جذر في نصف مال ربع كعب‏.‏

القسم الرابع ضرب الجذر في الكعب مال مال، وجذران في كعبين أربعة أموال، ونصف جذر في نصف كعب ربع مال‏.‏

القسم الخامس جذر في مال مال مال كعب، والصحيح والكسور كما تقدم‏.‏

القسم السادس ضرب الجذر في مال كعب يخرج كعب كعب، والصحيح والكسور كما تقدم‏.‏

القسم السابع ضرب الجذر في كعب كعب يخرج مال مال كعب، والصحيح والكسور كما تقدم‏.‏

القسم الثامن ضرب المال في نفسه وفيما فوقه، ويستغنى عن ضرب كل مرتبة علت فيما تحتها بما تقدم في التي قبلها من الضرب؛ لأن ضرب المال في الجذر هو ضرب الجذر في المال، وكذلك بقيتها، فضرب الكعب في الجذر هو ضرب المال في نفسه الخارج مال مال، ومالان في مالين أربعة أموال مال مال، والصحيح والكسور كما تقدم‏.‏

القسم التاسع ضرب المال في الكعب يخرج مال كعب، والصحيح والكسور كما تقدم‏.‏

القسم العاشر ضرب المال في مال كعب يخرج مال مال كعب، والصحيح

والكسور كما تقدم، ويعرف من هذا بقية المراتب التي لا تتناهى، وإن ضربت الكعب في كعب كعب خرج كعب كعب، وإن ضربت كعب كعب في نفسه خرج كعب كعب كعب كعب‏.‏

القسم الحادي عشر إذا قصدت ضرب جذر عدد أصم أو منطق في جذر آخر فاضرب العدد المجذور في العدد الآخر المجذور، فجذر المجتمع هو الخارج من ضرب أحد الجذرين في الآخر، كما لو قيل‏:‏ اضرب جذر أربعة في جذر تسعة اضرب تسعة في أربعة تبلغ ستة وثلاثين جذرها ستة وهو الخارج من ضرب جذر أربعة الذي هو اثنان في جذر تسعة الذي هو ثلاثة، وكذلك جذر عشرة في جذر خمسة الخارج جذر خمسين، وكذلك جذر ثمانية في جذر اثنين فالخارج جذر ستة عشر، وهذان أصمان، وجذر نصف في جذر ثمانية الخارج جذر أربعة، وجذر نصف في جذر نصف الخارج جذر ربع، وكذلك ما في معناه، فإن قصدت ضربت جذر عدد في عدد جعلت العدد جذرا وتعمل كما تقدم، نحو جذر أربعة في أربعة تجعل الأربعة جذرا بأن تضربها في نفسها تبلغ ستة عشر وتضرب الأربعة المجذورة في الستة عشر ويؤخذ جذرها وهو جذر أربعة وستين وذلك ثمانية، وجذر أربعة في اثنين جذر ستة عشر وجذر أربعة في نصف واحد، لأنك تضرب نصفا في نفسه يكن ربعا، تضرب ربعها في أربعة تكون واحد فجذره هو الخارج من ضرب جذر أربعة في نصف واحد، وكذلك كل ما في معناه، وكذلك تفعل فيما فوق الأعداد من المراتب من الأموال والكعاب فما فوقها‏.‏

فإن قصدت ضرب جذر درهمين في جذر مالين، فاضرب درهمين في مالين تكون أربعة أموال، فجذرها هو الخارج، وجذر أربعة دراهم في جذر أربعة أموال الخارج جذر ستة عشر مالا، وجذر أربعة أموال في جذر ربع درهم الخارج جذر مال، وكذلك ضرب العدد في جذر المال تجعل العدد جذرا لما فوقه كما تقدم، وتضرب المجذورين ويؤخذ جذره، فدرهمان في جذر مالين الخارج جذر ثمانية أموال، ونصف درهم في جذر ثمانية أموال الخارج جذر مالين، وكذلك ضرب

جذر العدد في الأموال تجعل المال جذرا ثم تضربه في العدد ويؤخذ جذره، فجذر أربعة دراهم في مالين الخارج جذر ستة عشر مال مال؛ لأن المالين يجعلان جذرا تضربهما في نفسهما تكون أربعة أموال مال، ثم تضرب في أربعة دراهم تكون ستة عشر مال مال، فيؤخذ جذره، وجذر درهم في نصف مال الخارج جذر ربع مال مال، وكذلك كل ما في معناه، وجذر مالين يخرج جذر أربعة أموال مال وهو مال، وجذر مالين في جذر نصف مالين الخارج جذر مال مال وهو مال، وكذلك ضرب جذر الكعاب فما فوتها، فجذر درهمين في جذر كعبين الخارج جذر أربعة كعاب، ودرهمان في جذر كعبين الخارج جذر ثمانية كعاب، وجذر مالين في جذر كعبين الخارج جذر أربعة أموال كعب، وجذر كعبين في جذر كعبين الخارج جذر أربعة كعاب كعب‏.‏

القسم الثاني عشر ضرب المركب من المراتب، فتضرب كل جنس من المضروب في كل جنس من المضروب فيه، وتجمع كل جنس إلى جنسه وما كان من جنسين جمعته بواو العطف، نحو كعاب وثلاثة أموال في مال وأربعة أشياء المرتفع ما لا كعب وأحد عشر مال مال واثنا عشر كعبا‏.‏

القسم الثالث عشر ضرب ما فيه استثناء أو زيادة، فتضر كل جنس من المضروب في كل جنس من المضروب فيه، ويكون المرتفع من ضرب الزائد في الزائد والناقص في الناقض زائدا، والمرتفع من ضرب الزائد في الناقص ناقصا، نحو مال إلا شيئين في ثلاثة أسماء إلا درهمين، فمال في ثلاثة أشياء زائد في زائد ثلاثة أكعب زائدة، ومال في درهمين زائد مالين ناقصة، وشيئان في ثلاثة أشياء ناقص في زائد ستة أموال ناقصة، وشيئان في درهمين ناقص في ناقص أربعة أشياء زائدة، فإذا جمعت الزوائد واستثنيت منه النواقص كان ثلاثة أكعب وأربعة أشياء إلا ثلاثة ثمانية أموال، وتسمى العدد المستثنى من المجهول أو المعلوم ناقصا لأنه نقص من غيره، والمستثنى منه زائدا لأنه حال الضرب يضرب غير مستثنى منه فهو حينئذ زائد على الواقع في نفس الأمر، وإذا كان العدد غير مستثنى سمي سالما لسلامته عن الاستثناء‏.‏

وقد يتخيل أن ضرب الناقص في الناقص ينبغي أن يلغى من الجملة وليس كذلك، بل هو ثابت في المطلوب؛ لأنه لو ضرب خمسة إلا اثنين في خمسة إلا اثنين قلنا خمسة في خمسة خمسة وعشرون وهو ضرب الزائد في الزائد، ونقول خمسة في اثنين بعشرة وهو ضرب الزائد في الناقص فيكون ناقصا فيسقطها من خمسة وعشرين يبقى خمسة عشر، ثم تضرب اثنين في خمسة بعشرة وهو ضرب الناقص الآخر في الزائد فتكون عشرة ناقصة يبقى خمسة فقط تضرب اثنين في اثنين بأربعة وهو ضرب الناقص في الناقص زائد فتتعين إضافتها للخمسة، لأنا لما قلنا خمسة إلا اثنين في خمسة إلا اثنين فمعناه اضرب ثلاثة في ثلاثة تبلغ تسعة فإذا أضفنا الأربعة المتحصلة من ضرب الناقص كان الحاصل تسعة وهو المطلوب، فمعنى أن الناقص في الناقص زائد، ومعك هاهنا أربعة أعداد مستثنى ومستثنى منه، ومستثنى ومستثنى منه، فتضرب اثنين في اثنين، فلا بد من أربعة ضروب تسقط منها اثنين من المتحصل من الاثنين الآخرين وهما الزائد في الناقص وعكسه، فيجتمع ما كان من ضرب مستثنى في مثله ومستثنى منه في مثله، وتسقط من المبلغ ما كان من ضرب مستثنى في مستثنى منه، والحاصل بعد ذلك هو الجواب، فيسقط البسيط من جنس واحد، ويثبت المركب من جنسين على ما تقدم بيانه‏.‏

ولا يتصور أن يستثنى من رتبة شيء مما فوقها، بل يستثنى من المال الدراهم والأشياء التي هي الجذور، ولا يستثنى منه الكعاب التي هي فوق المال؛ لأن الأكثر لا يستثنى من الأقل، هذا إذا كانا مفردين، أما إذا تعدد أحدهما الذي هو الأقل جاز، نحو أربعة أموال إلا كعبا لأن الأربعة أكثر، وهكذا كل ما في معناه، وإذا ضربنا مالين إذا درهما في نفسه خرج أربعة أموال مال ودرهم إلا أربعة أموال مال ودرهم إلا أربعة أموال، وإن ضربنا مالين إلا شيئا في مثله خرج أربعة أموال مال إلا أربعة كعاب، فيقاس عليه غيره‏.‏

فإن قيل عشرة دراهم وشيء في عشرة دراهم إلا شيئا فمعناه عشرة وجذر وليكن الجذر اثنين في عشرة إلا اثنين، فالمقصود اثنا عشر في ثمانية، فتضرب

عشرة في عشرة مائة، وشيء في عشرة يكن عشرة أشياء، ومعنى عشرة أشياء ثابتة عارضها استثناء عشرة أشياء يتساقطان ويبقى ضرب شيء في الأشياء، وشيء في الأشياء مال ناقص يخرج أن عشرة وشيئا في عشرة إلا شيئا مائة ينقص مالا‏.‏

فإن قيل عشرة دراهم وشيء في شيء إلا عشرة دراهم فتضرب عشرة دراهم في شيء تصير عشرة أشياء، وشيء في شيء مال، ثم عشرة دراهم في إلا عشرة تكون إلا عشرة مائة، تضرب الشيء في إلا عشرة تخرج عشرة أشياء ناقصة يعارضه الأشياء التي كانت معنا فيتساقط الإثبات بالنفي ويبقى شيء في شيء مع الاستثناء، وضرب الشيء في الشيء مال، فالمبلغ مال زائد إلا مائة درهم‏.‏

والتحقيق أن الغرض ضرب عشرة وجذر في جذر إلا عشرة، وليكن هذا الجذر الزائد على العشرة أكثر من العشرة، فإنا لو جعلنا الجذر عشرة استحال أن يكون الجذر في الجانب الآخر عشرة أيضا، ولا يتأدى استثناء العشرة من العشرة فنقول‏:‏ عشرة وأحد عشر، ومن الجانب الآخر الجذر أحد عشر والعشر استثناء منه فيبقى واحد، فضربنا العشرة والجذر في بقية الجذر بعد استثناء العشرة، فترد ضرب أحد وعشرين في واحد بأحد وعشرين، والجبري يقول اضرب أحد عشر في أحد عشر واستثن منه مائة يبقى أحد وعشرون وهو سواء‏.‏

الثالث في القسمة

فنذكر قوانينها وقواعدها سردا لتبقى على الخاطر، ثم نثني بمسائلها، وهي عكس الضرب، فالمقسوم هو المرتفع من الضرب، والمقسوم عليه أحد المضروبين، والخارج من القسمة المقسوم المضروب الآخر، والخارج من القسمة إذا ضرب في المقسوم عليه يعود المقسوم، وكل شيء قسم على العدد فالخارج من جنس المقسوم، فقسمة العدد على الأشياء أجزاء أشياء، وعلى الأموال أجزاء الأموال، وعلى الكعاب أجزاء كعب، وجزء كل مقدار إذا ضرب فيه يكون واحدا، وقسمة الأشياء على الأشياء عدد، وعلى الأموال أجزاء شيء، وعلى الكعاب أجزاء مال، وقسمة الأموال على الأشياء أشياء، وعلى الأموال عدد، وعلى الكعاب أجزاء شيء، وقسمة الكعاب على الأشياء أموال، وعلى الأموال أشياء، وعلى الكعاب عدد، وقسمة المركب على المفرد أن تجمع كل قسم على انفراده وتجمع الحاصل، وقسمة المركب على المركب فمنه ما يمكن التلفظ بالخارج من قسمته، ومنه ما لا يمكن، وضابطه طلب مقدار إذا ضربته في المقسوم عليه عاد المقسوم، فإن وجدته فهو الخارج، وإلا قلت هذا مقسوم على كذا‏.‏

والقسمة لها حدان، أحدهما أنها طلب ما في المقسوم من أمثال المقسوم عليه؛ وثانيهما أنها طلب نصيب الواحد التام من المقسوم عليه من المقسوم، فإذا قسمنا عشرة على اثنين خرج بالقسمة خمسة فعلى الأول نقول الاثنان نصفان متماثلان متقابلان فنفعل بالعشرة كذلك لأنا قسمنا في الاثنين على النصف، ومثل النصف نصف، وعلى الثاني من الحدين‏:‏ نصيب الواحد التام من المقسوم عليه من المقسوم

خمسة، وإذا قسمنا المجهول على نفسه يخرج آحادا بناء على قاعدتين‏:‏ إحداهما أن المجهولات إذا اجتمعت وهي جنس واحد في مسألة فهي متماثلة، وثانيتهما أن القسمة إنما تقع على أفراد المقسوم عليه البسيطة دون الملفوظ بها، كما إذا قيل اقسم مائة على مائتين فإنك تقول الخارج نصف واحد بناء منك على أنك قسمت على الأفراد التي في المائتين من الآحاد، ولو قسمت على أفراد المائتين لقلت خمسين؛ لأن القسمة على اثنين، فعلى هذه قسمة عشرين مالا على أربعة أموال خمسة آحاد، ولا تقول خمسة أموال، كما لو قسمت عشرين ألفا على أربعة آلاف فإنك تقول خمسة آحاد ولا تقول خمسة آلاف، ومتى كانت الأموال المقسومة آلافا فالمقسوم عليه من الأموال آلافا أو مئتين فالأخرى كذلك فلا يختلفان كيف فرضنا، فإذا زاد في المقسوم أفراد زاد في المقسوم عليه ما يقابلها، هذا إن قسمنا المجهول على خمسة في جنسه، فإن قسمناه على غير جنسه فتارة نقسمه على ما تحته وتارة نقسمه على ما فوقه، والأول إن كان ثلاثة كقسمة الكعب على المال كان كقسمة الشيء على العدد تخرج أشياء هنالك، وكذلك هاهنا يكون الخارج أشياء، وإن كان بينهما مرتبة كقسمة مال المال على المال كان كقسمة المال على العدد، وقسمة المال على العدد تخرج أموال فهاهنا أموال‏.‏

والضابط مهما كان بين المقسوم والمقسوم عليه من المراتب يكون بين العدد وما فوقه إذا قسم عليه، وهذه الأحكام مبنية على قاعدة التناسب، وهي أن نسبة الآحاد إلى الأشياء كنسبة الأشياء إلى الأموال، والأشياء إلى الأموال كالأموال إلى الكعوب، وكذلك إلى غير النهاية، وقد تقدم بسطها في القاعدة وفي ألفاظ المجهولات، ولما كان الخارج من قسمة الألف على المائة عشرة مثل قسمة العشرة على الواحد عشرة قلنا‏:‏ قسمة أي مرتبة شيئا من المجهولات على ما تحته كقسمة الأشياء على العدد، ولما كان التناسب تحت انعكاسه قلنا إن قسمة المجهول على ما فوقه بغير واسطة كقسمة العدد على الأشياء، كما أن قسمة العشرة

على المائة يخرج عشر واحد، كقسمة الواحد على العشرة يخرج عشر واحد، وبهذا التقدير تظهر الوسائط كلها‏.‏

مسألة

إن قسمنا ستة أموال على مالين خرج ثلاثة دراهم؛ وستة أكعب على شيئين يخرج ثلاثة أموال؛ وستة أشياء على كعبين يخرج ثلاثة أجزاء مال؛ وأربعة أموال على جزء شيء يخرج كعبان؛ وأربعة أجزاء شيء على مالين يخرج جزء كعب‏.‏

مسألة

إن قسمت مركبا قسمت كل مفرد منه على المقسوم عليه وجمعت الجميع وهو الخارج من القسمة، نحو أربعة أموال وأربعة أشياء على شيئين الخارج شيئان ودرهمان‏.‏

مسألة

إن كان في المقسوم مستثنى ‏(‏كان الخارج منه مستثنى‏)‏ في الخارج من القسمة‏.‏

مسألة

وإن كان المقسوم عليه مركبا لم يقسم عليه إلا مقدار يشاركه، أي يؤخذ مقدار يعدهما فيكون الخارج من القسمة في ذلك عدد، نحو ثلاثة أشياء وثلاثة دراهم على شيئين ودرهمين بشيء ودرهم بعد المقادير والخارج درهم ونصف، وهو ما يخرج من قسمة كل مفرد على نظيره أو مقدار إذا رفعت مفرداته في المراتب ارتفاعا واحدا أو حططته انحطاطا واحدا صار منه مقدار يشارك المقسوم عليه، أو يجوز أن يقسم أقساما كل قسم منها بهذه المثابة، نحو مالان وشيئان أو ثلاثة أموال وثلاثة أشياء وثلاثة دراهم وثلاثة أجزاء شيء على شيء ودرهم، فإن

مالين وشيئين إذا حططتهما مرتبة صارت شيئين ودرهمين، فتقسمهما على شيء ودرهم، ويكون الخارج من المرتبة التي بينها وبين العدد مثل ما بين مراتبه أولا والمراتب التي رد إليها‏.‏

مسألة

إن كان المقسوم والمقسوم عليه أصمين أو أحدهما فالعمل فيه كالضرب، فإذا أردت قسمة جذر عشرة على جذر خمسة قسمت عشرة على خمسة يخرج اثنان جذرها هو الجواب، وكذلك ضلع عشرة على ضلع خمسة الجواب ضلع اثنين، وكذلك ما تباعدت رتبته من الأصم، وجذر عشرة على ضلع عشرين، كعب العشرة يكون ألفا، وربع العشرين يكون أربعمائة، واقسم عليها يخرج اثنان ونصف جذر ضلعها هو الجواب؛ أو خمسة على جذر عشرة ربعت الخمسة وقسمت المبلغ على العشرة فما خرج الجواب في جذره، وإن شئت قسمت خمسة على عشرة وضربت الخارج في جذر عشرة يكون الجواب، ولا يصح الثاني إلا إذا كان المقسوم عليه جذرا، فإن قيل اقسم جذر ثلاثين على خمسة، ربعت خمسة فما بلغ قسمت عليه ثلاثين فالخارج الجواب جذره، وإن شئت نسبت الواحد من المقسوم عليه، فما كان ضربته في المقسوم يكون الجواب‏.‏

وإن أردت ألن تقسم على مركب من جذر أصم ومنطق أو من جذرين أصمين غير مشتركين، وهذا المقدار هو المسمى ذا الأصمين، ضرب في منفصلة وهو أحد قسميه مستثنى منه الآخر، يخرج من ذلك مقدار منطق تقسم عليه المقسوم، فما خرج تضربه فيما ضربت فيه المقسوم عليه فالخارج الجواب، وكذلك تفعل لو كانت القسمة على المنفصل، مثاله تقسم ثلاثين مالا على خمسة أشياء وجذر عشرة أموال، ضربت ذلك في خمسة أشياء إلا جذر عشرة أموال تكون خمسة عشر مالا، اقسم عليها ثلاثين مالا يخرج اثنان، اضربها في خمسة أشياء إلا جذر عشرة أموال تكن عشرة أشياء إلا

جذر أربعين مالا وهو الجواب، فإن كانت القسمة على خمسة أشياء إلا جذر عشرة أموال كان الخارج عشرة أشياء وجذرا أربعين مالا، وكذلك لو قيل اقسم جذر عشرة على جذر خمسة ضربته في ‏[‏‏.‏‏.‏‏.‏‏.‏‏.‏‏]‏ يكون خمسة تقسم عليها العشرة خرج اثنان تضربها في جذر عشرة إلا جذر خمسة يخرج جذر أربعين إلا جذر عشرين وهو الجواب‏.‏